Finite Elemente Höherer Ordnung zur Berechnung gekoppelter Feldprobleme

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Zur Erhöhung der Genauigkeit von Finite Element (FE) Simulationen wird im Rahmen dieser Arbeit die Verwendung von Finiten Elementen höherer Ordnung (p-FEM) speziell für gekoppelte Feldprobleme im Bereich der Sensorik und Aktorik untersucht. Bei dieser Methode werden statt den knotenbasierten Lagrange-Ansatzfunktionen die hierarchischen Legendre-basierten Ansatzfunktionen verwendet (siehe Abbildung 1). Diese bieten den Vorteil, dass der verwendete Polynomgrad p problemorientiert angepasst werden kann.

Abbildung 1: Lagrange- (links) und Legendre- basierte (rechts) Ansatzfunktionen

Im Bereich dünner piezoelektrischer Strukturen zum Beispiel erlaubt die Variation des Polynomgrades die effiziente Simulation von dünnen Strukturen (siehe Abbildung 2). Hierbei kann die Ansatzordnung der mechanischen Verschiebungen richtungsabhänging variiert werden und zudem das elektrische Potential unabhängig davon approximiert werden. Dies erlaubt eine höhere Genauigkeit der Simulation mit weniger Unbekannten im Vergleich zu einer reinen Gitterverfeinerung des FE-Modelles (siehe Abbildung 3).

Die Implementierung dieser Methode erfolgt im lehrstuhleigenen Finite Element Löser CFS++, der die flexible Kopplung beliebiger physikalischer Probleme erlaubt.

Abbildung 2: Piezoelektrischer Bimorphschwinger
Abbildung 3: Vergleich der Konvergenz der Eigenfrequenz für Erhöhung des Polynomgrades (p-Version) im Vergleich zur reinen Gitterverfeinerung (h-Version)

Im weiteren Verlauf dieser Arbeit soll zusätzlich die akustische Wellenausbreitung mit simuliert werden, wie sie z.B. für piezoelektrische Lautsprecher verwendet werden. Als weitere Anwendung soll zudem die effiziente Berechnung von dreidimensionalen Magnetfeldproblemen implementiert werden, wie sie z.B. in Transformatoren benötigt wird.